量化（Quant）交易員 gemchange_ltd 在 X 上發布了一篇長文，列出他「如果重來一次，會按什麼順序學習」的完整路線圖，從機率論到隨機微積分，五個數學關卡，18 個月就能從什麼都不會到真正入門量化交易。本文源自他在 X 上發布的熱門文章《How I’d Become a Quant If I Had to Start Over Tomorrow》，由翻書Flip編譯和重新整理。
（前情提要：不靠佣金、不曬單，一名交易員只憑分析週期的常勝策略 ）
（背景補充：頂級加密女交易員萬字生存筆記：別被「速成致富」毀掉 ）

本文目錄

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• Part I：機率論，不確定性的語言
• Part II：統計學——學會聆聽數據
• Part III：線性代數——驅動一切的機器
• Part IV：微積分與最佳化——變化的語言
• Part V：隨機微積分——真正的 Quant 門檻
• Polymarket
  • LMSR 如何為信念定價
• 量化交易職涯版圖：四種原型
• 工具箱與書單
• 三件作者希望自己早點知道的事

編譯聲明：本文不構成投資建議，市場有風險，請做好自己的研究。

先說幾個數字：2025 年，頂尖機構的應屆 Quant 年薪總包在 30 萬至 50 萬美元之間。金融業 AI/ML 招聘年增 88%。這條路，有沒有地圖？

這篇文章，是作者希望自己起步時有人能遞給他的東西。學習路線按照「你應該學的順序」排好了，每個概念都建立在前一個之上，就像電玩遊戲一樣，你沒辦法跳關。但如果你真的認真做，不是去 YouTube 上看什麼無聊的金融入門影片（那只是浪費時間），而是真的解題、動手做——大概 18 個月，你就能從什麼都不懂，變成真的懂一些東西。

把所有你以為知道的交易知識先放旁邊。大多數人以為量化交易是在選股、對特斯拉有看法、預測財報。其實不是。Quant 交易是數學。你做的是統計關係、定價低效率，以及那些「市場是被會犯系統性錯誤的人在跑的複雜系統」這個事實所帶來的結構性優勢。

Part I：機率論，不確定性的語言

量化金融的每件事，最後都可以簡化成一個問題：勝率多少？勝率站在我這邊嗎？

這就是機率。如果你對機率沒有深刻的理解，這篇文章後面的東西對你來說都沒有意義。

條件機率：Quant 的思考方式
一般人用絕對值思考：這件事是真的還是假的。Quant 用條件思考：根據我現在知道的，這件事有多大的機率？

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)——給定 B 發生，A 的機率等於兩者同時發生的機率除以 B 的機率。聽起來簡單，但影響很深遠。一支股票有 60% 的天數是上漲的——這是基礎機率。但在成交量高於平均的日子，上漲機率是 75%。這個條件機率才是有意義的資訊；原本那個 60% 反而充滿雜訊。

貝氏定理：即時更新你的判斷

後驗 = （在假說成立的情況下，看到這筆資料的機率）× 先驗 ÷ （在任何假說下，看到這筆資料的總機率）。在實作中，你用蒙地卡羅取樣來計算。邏輯是一樣的：貝氏是你在面對新資訊時即時調整判斷的方式。模型說一支股票應該值 50 美元，財報出來，營收比預期高 3%——貝氏後驗向上移動。更新最快、更新最準的人，贏得報酬。

期望值與變異數：你最好的兩個朋友

期望值是你的信念強度；變異數是你的風險。如果你的策略有正期望值，而且你能撐過變異數帶來的震盪，你很可能會賺錢。

Level 1 作業（每天 2 小時，3-4 週）

• 讀：Blitzstein & Hwang，《Introduction to Probability》（哈佛免費 PDF），把第 1-6 章每道題目都做一遍

• 寫程式：模擬 10,000 次拋硬幣，用視覺化驗證大數法則

• 寫程式：自己實作一個貝氏更新器，輸入先驗和似然，輸出後驗

  import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

  大數法則：執行平均收斂到真實機率

  np.random.seed(42) flips = np.random.choice([0, 1], size=10000, p=[0.5, 0.5]) running_avg = np.cumsum(flips) / np.arange(1, 10001)

  plt.figure(figsize=(10, 4)) plt.plot(running_avg, linewidth=0.7) plt.axhline(y=0.5, color=‘r’, linestyle=‘–’, label=‘真實機率’) plt.xlabel(‘拋擲次數’) plt.ylabel(‘執行平均’) plt.title(‘大數法則實際演示’) plt.legend() plt.savefig(‘lln.png’, dpi=150) print(f"10,000 次後: {running_avg[-1]:.4f}（真實: 0.5000）")

Part II：統計學——學會聆聽數據

學會說機率這個語言之後，你要學的是從數據中聽出什麼。統計學教給你的第一課是：大多數看起來有意義的發現，其實只是雜訊。

假說檢定：你的濾雜訊偵測器
你建了一個模型，回測年化報酬率 15%。這是真的嗎？設立虛無假說 H₀：「這個策略的期望報酬是零」，計算檢定統計量，算出 p 值。但注意：如果你測試 1,000 個隨機策略，純靠運氣，就有 50 個 p 值會低於 0.05。這是多重比較問題。解法是 Bonferroni 修正（顯著水準除以測試次數），或 Benjamini-Hochberg 控制偽發現率。每個初學者都大幅高估自己找到了什麼有意義的東西。你前 10 個策略全部都是雜訊。現在就接受這件事，幫自己省很多錢。

回歸分析：拆解報酬

線性回歸 y=Xβ+ε 是金融業的主力工具。你把策略報酬對已知的風險因子做回歸，截距 α 就是你的超額報酬——那個無法被已知因子解釋的部分。

如果在控制各因子後 α 為零，你所謂的「優勢」只是偽裝過的市場曝險。要用 Newey-West 標準誤，因為金融數據有自相關和異質變異，用普通最小平方法的標準誤，就像開著裂掉的擋風玻璃在高速公路上行駛。

最大概似估計（MLE）

這是金融業校正每個模型的方法，不管是配適 GARCH 波動率模型、估計跳躍擴散參數，還是把選擇權定價校正到市場報價。當有人說「calibrating」一個模型，幾乎都是在說 MLE。

Level 2 作業（4-5 週）

• 讀：Wasserman，《All of Statistics》，第 1-13 章
• 下載真實股票報酬（yfinance），測試常態性（一定會失敗），用 MLE 配適 t 分布，比較結果
• 用 statsmodels 對股票組合跑 Fama-French 三因子回歸
• 實作排列測試：把日期打亂 10,000 次，把打亂後的績效和真實績效比較

Part III：線性代數——驅動一切的機器

線性代數聽起來很無聊，但它是驅動一切的機器：投資組合建構、主成分分析、神經網路、共變異數估計、因子模型。不會矩陣，就做不了 Quant。

矩陣思維
共變異數矩陣 Σ 捕捉了每一個資產相對於其他每個資產的移動方式。對於 500 支股票，Σ 是 500×500 的矩陣，有 125,250 個獨特的值。組合變異數可以簡化成一個表達式：w’Σw，這個二次型是 Markowitz 投資組合理論、風險管理、所有東西的核心。

特徵值：真正重要的東西
看 500 支股票的宇宙，前 5 個特徵向量解釋了 70% 的總變異。其他的都是雜訊。第一次用特徵值分解，世界就變了：這是降維，也是因子投資的基礎。

Level 3 作業（4-6 週）

• 看：Gilbert Strang 的 MIT 18.06 線性代數課程，全部，不能跳過

• 讀：Strang，《Introduction to Linear Algebra》，把題目做完

• 對 S&P 500 報酬做 PCA，畫特徵值頻譜，找出前三個主成分

• 從頭實作 Markowitz 均值變異數最佳化

  import numpy as np import cvxpy as cp

  np.random.seed(42) n_assets = 10 mu = np.random.uniform(0.04, 0.15, n_assets) A = np.random.randn(n_assets, n_assets) * 0.1 cov = A @ A.T + np.eye(n_assets) * 0.01

  w = cp.Variable(n_assets) objective = cp.Minimize(cp.quad_form(w, cov)) constraints = [ mu @ w >= 0.08, # 最低報酬要求 cp.sum(w) == 1, # 完全投入 w >= -0.1, # 最多 10% 放空 w <= 0.3 # 最多 30% 做多 ]

  prob = cp.Problem(objective, constraints) prob.solve()

  ret = mu @ w.value vol = np.sqrt(w.value @ cov @ w.value) sharpe = (ret - 0.03) / vol

  print(f"組合報酬: {ret:.4f}“) print(f"組合波動: {vol:.4f}”) print(f"夏普比率: {sharpe:.4f}")

Part IV：微積分與最佳化——變化的語言

微積分是描述變化的語言。在金融裡，什麼都在變：價格、波動率、相關性，整個機率分布每秒都在移動。微積分描述並利用這些變化。導數出現在每個神經網路的反向傳播和每個選擇權希臘字母計算中。

泰勒展開式是 Delta 避險的一階近似，Gamma 避險加入二階修正。Itô 微積分和普通微積分不同，正是因為隨機過程的二階泰勒項不會消失。

Level 4 作業（4-5 週）

• 讀：Boyd & Vandenberghe，《Convex Optimization》（史丹佛免費 PDF），第 1-5 章
• 從頭實作梯度下降，最小化 Rosenbrock 函數
• 用 cvxpy 解一個含交易成本約束的投資組合最佳化問題

Part V：隨機微積分——真正的 Quant 門檻

學隨機微積分之前，你只是個喜歡金融的數據科學家。學完之後，你才算是 Quant。這是你學會在連續時間裡建模隨機性、從第一原理推導 Black-Scholes 方程式，以及理解為什麼上兆美元的衍生品市場是這樣運作的地方。

布朗運動：將隨機性形式化

布朗運動（維納過程）W_t 是連續時間的隨機漫步。最關鍵的洞察——後面一切都依賴於此——是 dW_t 的「大小」是 √dt，意思是 (dW_t)² = dt。聽起來像技術細節，但這是量化金融裡最重要的一個事實。

Itô 引理

在普通微積分裡，你做泰勒展開，(dx)² 小到可以省略。但當 x 是隨機過程，(dW_t)² = dt 是一階項，你省略不了。Itô 引理：df = (∂f/∂t + μ∂f/∂x + ½σ²∂²f/∂x²)dt + σ∂f/∂x dW_t。把這個應用到選擇權價格，你就得到了 Black-Scholes。

從頭推導 Black-Scholes
Step 1：設 V(S,t) 是選擇權價格，對其用 Itô 引理。

Step 2：建立 Delta 避險投資組合 Π = V − (∂V/∂S)·S，計算 dΠ——dW_t 項完美消掉，這個組合在局部是無風險的。

Step 3：無風險投資組合必須以無風險利率增值。

Step 4：代入整理，得到 Black-Scholes 偏微分方程式。

注意發生了什麼事：漂移率 μ 消失了。選擇權的價格跟股票的預期報酬無關，跟風險偏好也無關。你可以把每個人都當成風險中性來替選擇權定價。第一次真正理解這件事，真的會讓人腦袋打結。

對於一個履約價為 K、到期日為 T 的歐式買權，解這個偏微分方程（PDE）可以得到：

where d_1=

d_2=

希臘字母

• Delta Δ：每 1 美元股價移動，選擇權移動多少，也就是你的避險比率

• Gamma Γ：Delta 變化的速度，你的凸性曝險

• Theta Θ：時間價值損耗，長部位通常是負值

• Vega V：對波動率的敏感度，大多數衍生品的錢在這裡賺

• Rho ρ：對利率的敏感度

  import numpy as np from scipy.stats import norm

  def black_scholes(S, K, T, r, sigma, option_type=‘call’): d1 = (np.log(S/K) + (r + sigma**2/2)T) / (sigmanp.sqrt(T)) d2 = d1 - sigmanp.sqrt(T) if option_type == ‘call’: return Snorm.cdf(d1) - Knp.exp(-rT)norm.cdf(d2) else: return Knp.exp(-r*T)norm.cdf(-d2) - Snorm.cdf(-d1)

  def monte_carlo_option(S0, K, T, r, sigma, n_sims=500_000): Z = np.random.standard_normal(n_sims) ST = S0 * np.exp((r - sigma**2/2)T + sigmanp.sqrt(T)Z) payoffs = np.maximum(ST - K, 0) price = np.exp(-rT) * np.mean(payoffs) stderr = np.exp(-r*T) * np.std(payoffs) / np.sqrt(n_sims) return price, stderr

  S, K, T, r, sigma = 100, 105, 1.0, 0.05, 0.2 bs = black_scholes(S, K, T, r, sigma) mc, err = monte_carlo_option(S, K, T, r, sigma) print(f"Black-Scholes: ${bs:.4f}“) print(f"Monte Carlo: ${mc:.4f} ± {err:.4f}”)

Level 5 作業（6-8 週，最難的一關）

• 讀：Shreve，《Stochastic Calculus for Finance II》，金標準
• 替代選項：Arguin，《A First Course in Stochastic Calculus》，新一點，更容易入門
• 自己推導：對 f(S) = ln(S) 用 Itô 引理，推出那個 -σ²/2
• 自己推導：完整的 Black-Scholes 方程式，從 Delta 避險論證開始
• 寫程式：從頭實作 Black-Scholes，和蒙地卡羅比較，驗證收斂

Polymarket

這是目前世界上最有趣的市場，而其背後的數學把本文中的所有主題連結在一起：
機率（probability）、資訊理論（information theory）、凸優化（convex optimization）、整數規劃（integer programming）。

LMSR 如何為信念定價

對數市場評分規則（Logarithmic Market Scoring Rule，LMSR）
由 Robin Hanson 發明，用於驅動自動化的預測市場。

對於 n 個結果（outcomes），其成本函數為：

其中：

• qiqi 表示 結果 i 已經發行的未平倉份額（outstanding shares）

• bb 是 流動性參數（liquidity parameter）

結果 i 的價格為：

這其實就是 softmax 函數 ——
也就是 所有神經網路分類器（neural network classifiers）背後使用的函數。

其性質包括：

• 所有價格 加總永遠等於 1

• 所有價格 永遠落在 (0,1) 之間

• 市場 始終存在價格，等同於提供無限流動性

而 做市商（market maker）的最大損失
被限制在：b×ln⁡(n)b×ln(n)

量化交易職涯版圖：四種原型

Quant Researcher（QR）：在 PB 級數據裡找規律，建預測模型，設計策略，需要博士級數學/統計/機器學習，或是大學階段就特別突出的人。在 Jane Street 這類機構，QR 手邊有幾萬張 GPU。

Quant Developer/Engineer（QD）：負責建造，交易平台、執行引擎、即時數據管道，讓研究員的模型真的能跑起來交易。需要生產級別的 C++/Rust/Python 和低延遲系統。

Quant Trader（QT）：決策者，管理資本、控制風險、做即時判斷。薪資變異最大，頂尖年份可以到八位數。

Risk Quant：守門人，模型驗證、VaR、壓力測試、法規遵循，職涯路徑比較穩定，但天花板較低。新興的 AI/ML Quant 角色（用深度學習產生信號）是成長最快的方向，2025 年招聘年增 88%。

薪資行情如下（美國頂尖機構，Jane Street、Citadel、HRT）：

• 應屆畢業生：$30 萬至 $50 萬+總包
• 中階（3-7 年）：$55 萬至 $95 萬
• 資深（8 年+）：$100 萬至 $300 萬+
• 明星交易員/PM：$300 萬至 $3000 萬+

中型機構（Two Sigma、DE Shaw）應屆畢業生約 $25 萬至 $35 萬總包。Jane Street 的員工平均薪酬在 2025 上半年達到每年 140 萬美元，這是平均值。

面試流程：履歷篩選 → 線上測試（心算用 Zetamac，目標 50 分以上，邏輯題）→ 電話面試（機率問題、賭博遊戲）→ Superday（3-5 輪連續面試，模擬交易、程式碼、白板推導）。Jane Street 故意出難到自己解不完的題，測的是你怎麼利用提示和跟人協作。他們近期實習生班超過三分之二讀資工，三分之一讀數學，金融知識通常不要求。

面試準備首推 Xinfeng Zhou 的《Green Book》（量化金融面試實戰指南，200 道以上真實題目），搭配 QuantGuide.io（量化版 LeetCode）和 Brainstellar 練習。

工具箱與書單

Python 技術棧：數據處理用 pandas/polars（Polars 在大型數據集上快 10-50 倍），數值計算用 numpy/scipy，表格型機器學習用 xgboost/lightgbm，深度學習用 pytorch，最佳化用 cvxpy，衍生品用 QuantLib，統計用 statsmodels，回測用 NautilusTrader 或 vectorbt。

免費數據來源：yfinance、Finnhub（每分鐘 60 次請求）、Alpha Vantage。中階用 Polygon.io（每月 $199，延遲低於 20ms）。企業級是 Bloomberg Terminal（每年約 $32,000）。

書單（按順序）

• 數學基礎：Blitzstein & Hwang《機率論》→ Strang《線性代數》→ Wasserman《All of Statistics》→ Boyd & Vandenberghe《凸最佳化》→ Shreve《隨機微積分 I & II》
• 量化金融：Hull《選擇權、期貨與其他衍生品》→ Natenberg《選擇權波動率與定價》→ López de Prado《金融機器學習進階》→ Ernest Chan《量化交易》→ Zuckerman《解開市場謎題的人》
• 面試：Zhou《Green Book》→ Crack《Heard on the Street》→ Joshi《Quant 面試題》
• 競賽：Jane Street Kaggle（10 萬美元獎金）、WorldQuant BRAIN（超過 10 萬用戶，付錢買 alpha 信號）、Citadel Datathon（快速通道到正職）

三件作者希望自己早點知道的事

**估計誤差才是真正的敵人。**Full Kelly 下注、無約束 Markowitz、特徵數量太多的機器學習模型——失敗的原因都一樣：過度擬合參數估計中的雜訊。數學在真實參數下完美運作。你從來沒有真實參數。理論和實踐之間的差距，永遠都是估計誤差，最好的 Quant 是那些真正尊重這件事的人。

**工具已經民主化，但判斷力沒有。**任何人都能取得 QuantLib、Polygon.io 和 PyTorch。技術是必要條件，但不是充分條件。優勢存在於獨特的數據、獨特的模型，或是獨特的執行能力，不在於更好的 pip install。

**數學是護城河。**AI 可以寫程式碼、提議策略。但能夠推導出為什麼 Itô 引理有那個多出來的項、能夠證明在風險中性測度下折現價格是鞅、能夠知道在組合套利問題中凸鬆弛是緊的還是鬆的——這種數學流暢度，才是區分「建立優勢的 Quant」和「借用別人優勢的 Quant」的東西。借來的優勢有到期日。