Cette formule est le véritable secret de Buffett !

Utilisez la formule de Kelly pour construire votre propre machine à intérêts composés à long terme.
1. L’intérêt composé est la force fondamentale de la croissance de la richesse, mais le monde réel est rempli de volatilité et d’incertitudes.
2. L’essence de la formule de Kelly est d’optimiser l’allocation des fonds dans un monde incertain pour maximiser la croissance à long terme par intérêts composés.
3. La "stratégie Kelly améliorée" constitue la base mathématique du succès de Buffett, en réalisant un équilibre entre efficacité accrue et risque réduit via un modèle commercial spécifique.
4. Une opération sous une forme de "contre-formule de Kelly" est une cause majeure de la majorité des échecs en investissement.
5. La formule de Kelly est inefficace pour les parieurs, car le jeu est à espérance négative ; la stratégie optimale consiste à ne pas jouer.
6. Le principe d’investissement le plus important : ne pas jouer, éviter l’effet de levier excessif, et ne jamais subir une perte permanente de capital.

I : Lorsque le marché commence à chuter fortement, les gens se remémorent encore que Buffett a plus d’expérience et de finesse.

Il existe une opinion selon laquelle, ces dernières décennies, Buffett a souvent été moyen, voire en retard par rapport au marché (bien sûr, il est difficile de continuer à battre le marché avec une telle envergure), mais dès qu’une forte chute survient, il rattrape son retard, voire le dépasse.

Il semble que cette fois aussi, ce ne soit pas différent. Il a depuis longtemps réduit ses positions, vendu la majorité de ses actions Apple, et détient des liquidités atteignant plusieurs centaines de milliards de dollars.

En revanche, beaucoup de super stars de l’investissement, peut-être capables de briller momentanément, ont du mal à résister à une tempête.

L’exemple qui m’a le plus marqué est celui d’Ellis : un gestionnaire de fonds vedette a obtenu un rendement annualisé de 16,5 % entre 1990 et 2005, nettement supérieur au S&P 500 à 11,5 %. Mais ces trois dernières années, ses gains ont chuté à -23,7 %.

Bien que le rendement pondéré par le temps semble légèrement supérieur au marché, les investisseurs ont subi une forte dilution en achetant massivement au sommet du marché haussier, perdant au total 3,6 milliards de dollars. Le gestionnaire et la société de gestion ont réalisé des profits, mais les investisseurs ont été profondément piégés.

Autrement dit, même en ayant surperformé le S&P 500 pendant 15 années consécutives, en somme, on a finalement perdu de l’argent, surtout avec l’argent investi à des niveaux élevés.

Ce que dit Ellis, c’est probablement Bill Miller. Miller a créé une mythologie de surperformance continue pendant 15 ans avec le trust de valeur de Lehman Brothers, mais a été lourdement affecté lors de la crise financière de 2008, avec une chute de la valeur nette des fonds d’environ 55-60 %, bien au-delà de la baisse d’environ 37 % du S&P 500 sur la même période.

Bien que Miller ait ensuite démontré une perspicacité exceptionnelle dans l’investissement dans Amazon et Bitcoin, il n’a pas réussi à retrouver sa gloire d’antan.

Buffett contraste fortement avec Miller. La caractéristique de Buffett, qui peut sembler moyen en période calme mais montre une valeur exceptionnelle en crise, confirme que le succès à long terme repose davantage sur l’évitement des retraits importants que sur la recherche de gains à court terme maximaux.

Cela explique aussi pourquoi de nombreuses stars de l’investissement brillant à court terme échouent finalement lors d’un ajustement majeur du marché. Elles dépendent fortement de stratégies efficaces dans des environnements spécifiques, mais manquent d’une gestion des risques complète sur tout le cycle.

Ce contraste entre ces deux maîtres de l’investissement illustre parfaitement une vérité centrale :

Le succès en investissement dépend davantage d’éviter les erreurs graves que de rechercher des rendements spectaculaires.

La carrière de Buffett prouve que ceux qui peuvent supporter de fortes baisses du marché finiront souvent par surpasser ceux qui brillent uniquement en période haussière.

L’une des principales différences entre eux est :

Buffett privilégie le taux de réussite ;

Miller privilégie le ratio de gain.

Cette différence apparemment subtile cache un principe mathématique puissant et simple : la formule de Kelly.

II : Dans cette comparaison, Miller est en quelque sorte en "contre-formule de Kelly", tandis que Buffett applique une "version renforcée de Kelly".

La formule de Kelly a été initialement conçue par le scientifique de Bell Labs, John Kelly, pour résoudre des problèmes de communication ; elle a ensuite été prouvée comme la base pour déterminer l’allocation optimale des fonds :

f* = (( bp - q)) / b

où f* est la proportion optimale à miser, b est le pari (ou le ratio de gains), p la probabilité de succès, q la probabilité d’échec, et ( représente la valeur attendue.

Certains articles ont affirmé que la formule de Kelly privilégie "le taux de réussite" au détriment du "ratio de gains". Voici une comparaison de deux opportunités d’investissement :

1. Une opportunité avec un pari à 10 fois le gain, mais seulement 10 % de chance de succès, avec une mise optimale d’1 % ;
2. Une à 0,5 fois le gain (gagner 1 en perdant 2), mais 80 % de chance de succès, avec une mise optimale pouvant aller jusqu’à 40 %.

L’article en déduit que la théorie classique de l’investissement favorise des investissements à haute probabilité, et que mieux on maîtrise la probabilité, plus on augmente ses chances de succès.

Selon cette logique (formule de Kelly), la stratégie qui privilégie la probabilité plutôt que le ratio de gains rend difficile l’obtention de rendements élevés en pratique. En effet, il est difficile d’estimer précisément la probabilité, et comme l’investissement n’est pas un jeu de dés à répétition à grande échelle, on ne peut pas vérifier le résultat.

Mais en réalité, la formule de Kelly elle-même n’a pas de "préférence" ; elle considère simultanément la probabilité de succès et le ratio de gains pour déterminer la position optimale.

Quant à l’estimation des probabilités, on ne peut utiliser que la "probabilité subjective" selon Bayes.

La comparaison des deux cas ci-dessus illustre le sujet que je souhaite explorer :

L’investissement axé sur la valeur, car il permet d’avoir une position plus importante, facilite une meilleure croissance par intérêts composés à long terme.

Examinons d’abord la relation entre investissement axé sur la valeur et la formule de Kelly :

D’après la formule de Kelly, la caractéristique de l’investissement axé sur la valeur est de rechercher une probabilité de succès relativement élevée ) p(, tout en acceptant un ratio de gains modéré ) b(. En trouvant des actions sous-évaluées par rapport à leur valeur intrinsèque, les investisseurs en valeur créent un "avantage de taux de réussite".

La formule de Kelly montre que, lorsque la probabilité de succès est élevée, même un ratio de gains pas très élevé peut permettre une position importante. Cette stratégie est en forte cohérence avec l’investissement en valeur :

- Taux de réussite typique de 65-75 % ;
- Ratio de gains généralement entre 0,5 et 2 ;
- La position optimale calculée par Kelly se situe souvent entre 20 et 40 % ;
- En revanche, l’investissement de croissance ou spéculatif, avec une faible probabilité mais de gros gains, recommande une position plus petite selon Kelly.

Pourquoi l’investissement en valeur, qui supporte des positions plus importantes, favorise la croissance par intérêts composés à long terme ?

1. Contrôle des retraits
Une position plus grande suppose une gestion rigoureuse du risque de perte.
L’investissement en valeur réduit le risque de baisse importante grâce à une marge de sécurité, permettant de maintenir une exposition élevée sans être contraint de réduire en cas de correction du marché.
2. Avantage temporel
Une position plus importante permet de mieux exploiter l’effet des intérêts composés.
Supposons deux stratégies avec un même rendement attendu ) par exemple 15 % : à long terme, la stratégie A, avec une position plus grande, expose davantage les fonds à la croissance par intérêts composés, générant un rendement géométrique supérieur.
- Stratégie A : haut taux de réussite, ratio modéré, Kelly recommande 40 % ;
- Stratégie B : faible taux de réussite, gros gains, Kelly recommande 10 %.
3. Efficacité de l’utilisation du capital
Sur un marché financier, l’argent inutilisé a un coût d’opportunité très élevé.
Une position plus grande supportée par l’investissement en valeur augmente l’efficacité de l’utilisation du capital.

III : Bien sûr, en comparaison avec la simplicité de la formule de Kelly, la réalité est beaucoup plus complexe. Il existe plusieurs écarts clés entre la théorie et la pratique :

1. La difficulté d’estimer les probabilités
Dans l’investissement, il est très difficile d’évaluer précisément la probabilité de succès. Les investisseurs en valeur tentent d’améliorer cette estimation par une analyse qualitative et quantitative, mais cela reste toujours subjectif.
2. La non-indépendance des événements
La formule de Kelly suppose que les mises sont indépendantes, mais en réalité, le marché boursier est fortement corrélé. Le risque systémique peut affecter plusieurs positions en même temps.
3. La différence de cadre temporel
L’investissement en valeur nécessite souvent un horizon long, ce qui implique de "verrouiller" le capital, pouvant faire manquer des opportunités.
4. Le facteur psychologique
Le vrai défi est de maintenir une position importante, voire d’accroître en période de panique, ce qui est psychologiquement très difficile.
Le succès de Buffett réside dans sa capacité créative à surmonter ces limitations :

- Fournir des fonds à faible coût ou même négociables via la "float" d’assurance, augmentant la base d’investissement ;
- Établir une méthode systématique pour repérer des opportunités avec un taux de réussite élevé ;
- Disposer de suffisamment de liquidités et de résistance psychologique pour augmenter la position lors de panique du marché.
La notion de "taux de réussite élevé, confiance élevée, cercle de compétence, marge de sécurité" est en réalité un service à cette stratégie. La croissance de la richesse est en fin de compte un jeu mathématique.
On peut donc dire que l’essence de Buffett est une "stratégie Kelly renforcée".

IV : En revenant à Miller et à d’autres investisseurs, il existe une "contre-formule de Kelly" :

Il y a notamment deux cas :

1. "Contre-formule de Kelly" : Miller, après une chute brutale, a dû faire face à des rachats de fonds, ce qui l’a empêché de réparer le dommage porté à sa moyenne géométrique. Cela contraste avec Buffett qui a profité de liquidités en période de baisse pour acheter.
2. "Contre-formule de Kelly" peut aussi s’appliquer à des investisseurs, notamment les clients des fonds de Woodie. La majorité de leur argent est arrivée lors de ses années de pic, mais ils ont subi une forte correction. Son rendement annuel n’est pas exceptionnel, mais leur patrimoine peut avoir été "détruit" davantage.

Ces gestionnaires vedettes, au moment où leur espérance de gain est la plus élevée (à haute valeur de bp), gèrent le moins d’argent ; quand leur espérance baisse ou devient négative, ils gèrent le plus d’argent.

C’est comme un joueur qui, lorsque les cotes sont favorables, mise peu, mais lorsque la cote se dégrade, mise tout. Non seulement pour les stars, mais aussi pour la plupart des investisseurs ordinaires, cette stratégie "inverse de Kelly" est pratiquée inconsciemment — acheter fortement lorsque le marché est à son point bas (faible espérance), vendre en panique lorsque le marché est haut (haute espérance).

3. La pire partie de la "contre-formule de Kelly" est probablement l’effet de levier.
Car la formule de Kelly insiste sur le fait que, même avec le meilleur investissement, il faut n’utiliser qu’une partie du capital.
L’effet de levier, en cas de grande volatilité, peut entraîner une perte permanente.
Récemment, certains gestionnaires ont utilisé l’effet de levier, ce qui pourrait être lié aux incitations dans ce secteur. Les gens sont toujours attirés par le classement annuel des meilleurs rendements, ce qui stimule la spéculation.
Ou bien, le système d’évaluation sociale privilégie la moyenne arithmétique à court terme, plutôt que la moyenne géométrique à long terme.

4. Pour les investisseurs focalisés sur le ratio de gains, la position peut être "contre-formule de Kelly".
Par exemple, un gestionnaire qui veut maximiser son rendement pourrait acheter des actions technologiques à fort potentiel. Mais, selon Kelly, avec un ratio de gains élevé mais une faible probabilité, la position optimale serait faible.

Pour maximiser le rendement, il faut optimiser l’utilisation du capital, ce qui pousse ce gestionnaire à acheter plusieurs actions technologiques similaires.

Le problème est que, même si chaque action est calculée selon Kelly, leur combinaison viole la règle de répartition optimale. En effet, la formule de Kelly suppose que chaque investissement ou pari est indépendant.

Quand un gestionnaire achète plusieurs actions ayant un modèle d’affaires similaire, dans la même industrie ou influencées par des facteurs macroéconomiques communs, leurs rendements seront fortement corrélés.

Cela signifie que leurs mouvements haussiers ou baissiers seront synchronisés, ce qui n’est plus un événement indépendant.

Le but de Kelly est de maximiser le rendement géométrique à long terme. Investir excessivement dans des actifs fortement corrélés et à faible taux de réussite augmente la volatilité du portefeuille, pouvant entraîner de fortes pertes en cas de marché défavorable.

Une forte correction réduit le rendement géométrique de façon significative, nécessitant un rendement supplémentaire pour compenser.

Par exemple, un gestionnaire vedette ayant gagné 70 % l’année précédente, s’il perd 40 % l’année suivante, efface tout son gain.

C’est la raison pour laquelle de nombreux gestionnaires brillants en période d’euphorie échouent lors de crises — ils poursuivent des stratégies favorisant le ratio de gains, qui paraissent sophistiquées mais mènent en réalité à une "piège inverse de Kelly".

5. La "contre-formule de Kelly" et la gestion du temps
La formule de Kelly suppose implicitement que l’investisseur a un horizon temporel suffisamment long pour réaliser la croissance maximale attendue. Mais, en pratique, les investisseurs et gestionnaires font face à une pression de performance à court terme et à des contraintes de liquidité.

Lorsqu’un marché chute, beaucoup ne peuvent pas attendre suffisamment longtemps pour que la valorisation remonte, en raison de divers motifs (retraite, éducation, stress psychologique). Cela viole la prémisse de maximisation de la croissance géométrique à long terme.

Peter Bernstein a souligné que la volatilité est le tueur invisible des investisseurs à long terme, surtout lors des retraits. Il a introduit la notion de "risque de séquence" :

Comparer deux portefeuilles de retraite, initialement à 1 million $, avec un retrait annuel de 65 000 $ et un rendement moyen de 7 % :
- Portefeuille A : 7 % par an pendant 15 ans, puis 7 % encore pendant 15 ans, il reste environ 950 000 $ ;
- Portefeuille B : 2 % pendant 15 ans, puis 12 % pendant 15 ans, il s’épuise en cours de route.

Même si la moyenne arithmétique des rendements est identique, la performance initiale est cruciale pour la durée de vie du capital de retraite.

Le risque de séquence de Bernstein est étroitement lié à la formule de Kelly : celle-ci maximise la moyenne géométrique, qui suppose une stabilité des flux. Quand il faut retirer des fonds à un moment précis, l’ordre temporel est essentiel.

Miller a vécu cette "double anti-Kelly" : il a géré le plus d’argent en période de baisse (ce qui va à l’encontre du principe de Kelly), mais a aussi fait face à des rachats massifs d’investisseurs (contraire à l’hypothèse de délai temporel).

Lorsqu’il doit vendre des actifs lors des creux pour répondre aux rachats, le rendement géométrique subit un coup irrémédiable.

Buffett, lui, a intelligemment évité ce piège grâce à la structure de Berkshire Hathaway.

En tant que holding, et non un fonds commun, il n’a pas à faire face à la pression de rachat à court terme. Il peut même augmenter ses positions en période de panique, profitant pleinement de tous les avantages de Kelly sur un horizon suffisamment long.

Les leçons du risque de séquence montrent que la véritable stratégie Kelly doit prendre en compte à la fois la circulation des fonds et la dimension temporelle.

Pour un investisseur individuel, cela signifie adapter sa stratégie en fonction des besoins financiers, en réduisant la volatilité proche du moment où le capital doit être utilisé, même si cela limite le rendement attendu à long terme.

De plus, la création d’un flux de liquidités constantes est essentielle.

6. La "contre-formule de Kelly" systémique dans les institutions
Les structures et incitations des institutions financières encouragent systématiquement des comportements "contre-Kelly" :

- Évaluation annuelle et bonus qui privilégient la performance à court terme ;
- Accent sur la "performance attribution" qui favorise des portefeuilles très corrélés ;
- Séparation des décisions d’investissement et de gestion des risques, absence de vision globale ;
- Système de référence relatif qui favorise la psychologie de troupe, augmentant le risque systémique.

Le modèle de rémunération "2 and 20" des hedge funds — 2 % de frais de gestion, 20 % de performance — crée des incitations asymétriques :

- Lors du succès, ils partagent une très grande part des profits ;
- Lors de pertes, le risque est principalement supporté par les investisseurs.

Ce système encourage des stratégies "contre-Kelly" excessives, risquées.

En réalité, la psychologie humaine, notamment la peur de perdre, est particulièrement sage face à la volatilité.

Mais pour un gestionnaire rémunéré à la performance, la perte n’est pas un problème ; seul un excès de rendement compte.

Naturellement, de plus en plus de gestionnaires cherchent à optimiser ces mécanismes.

7. L’absence de mécanismes contre les "cygnes noirs"
Nassim Taleb insiste sur le fait que les pertes extrêmes sont bien plus destructrices que les gains extrêmes, et que le risque de queue est fortement sous-estimé.

Il utilise la "théorie de la faillite" pour expliquer :

Supposons un gestionnaire qui a généré 3 % de surperformance annuelle en moyenne pendant 15 ans ;
Si une perte extrême de 40 % survient, il faut un rendement d’environ 67 % pour revenir à la situation initiale.
Taleb a analysé des données de hedge funds entre 2006 et 2009 : plus de 30 % des "fonds stars" ont disparu suite à des pertes massives dues à un seul événement.

Une faiblesse fatale de la formule de Kelly classique est qu’elle suppose que la distribution des probabilités est connue et stable.

Or, Taleb souligne que les marchés financiers sont pleins "d’inconnues inconnues" — événements impossibles à prévoir, à quantifier, mais qui ont un impact énorme. Ces "cygnes noirs" rendent l’application de Kelly risquée.

Quand Miller détenait massivement des actions financières et a vécu la crise de 2008, il a été confronté à ce risque de queue extrême que Kelly ne peut pas prévoir.

Aucune donnée historique ni modèle probabiliste ne peut prédire précisément l’ampleur de la crise des subprimes, rendant toute estimation basée sur la "distribution connue" systématiquement erronée.

La philosophie de "l’anti-fragilité" de Taleb rejoint l’objectif de Kelly : survivre et croître à long terme.

La différence réside dans la prudence face à la distribution inconnue. Taleb recommande de concevoir des portefeuilles capables de tirer profit de la volatilité et du chaos, plutôt que de se limiter à des stratégies optimales sous des risques connus.

Dans cette optique, la philosophie d’investissement de Buffett manifeste une étonnante caractéristique "anti-fragile" :

- Maintenir toujours une réserve de liquidités suffisante pour intervenir lors des marchés tumultueux ;
- Éviter les produits financiers ou modèles d’affaires complexes que l’on ne comprend pas ;
- Choisir des entreprises capables de survivre ou de prospérer lors de récessions ;
- Constituer un portefeuille à détenir à long terme, en réduisant la fréquence des transactions et les coûts.

De ce point de vue, une "stratégie de Kelly modifiée" contre les cygnes noirs devrait inclure :

- Un coussin supplémentaire contre les risques extrêmes (par exemple, utiliser "Kelly semi" plutôt que "Kelly complet") ;
- La construction de portefeuilles anti-fragiles (en conservant une "poudre sèche") ;
- La focalisation sur la composition du risque plutôt que sur la seule espérance de rendement ;
- Une humble attitude face aux risques inconnus.

Les idées de Taleb combinées à la formule de Kelly offrent un cadre de gestion des risques plus complet :

En cherchant la meilleure allocation de fonds, il faut aussi reconnaître la limite fondamentale de nos estimations probabilistes et réserver une marge de sécurité suffisante pour l’imprévisible.

V : La "version renforcée de Kelly" de Buffett comporte sept secrets :

1. La croissance par intérêts composés à long terme
L’objectif central de Buffett rejoint celui de Kelly : maximiser la croissance géométrique à long terme, c’est-à-dire la croissance composée. C’est aussi le but commun de tous les investisseurs.
Mais cela est difficile, car les performances à court terme ou même sur plusieurs années sont plus faciles à mesurer, ce qui influence l’auto-évaluation.
C’est peut-être là où Buffett est exceptionnel : il se fiche de ce que pensent les autres, "il ne s’intéresse pas à être le meilleur dans un court laps de temps".
2. L’investissement en valeur à haute probabilité
Buffett insiste sur l’investissement en valeur, qui vise une haute probabilité de succès. Cela lui permet d’allouer des positions plus importantes selon Kelly, et de les conserver longtemps pour profiter de l’effet des intérêts composés.
3. La croissance du capital par "float"
Buffett exploite la "float" des assurances Berkshire Hathaway pour augmenter la base d’investissement. Il ne se limite pas à un capital fixe. Cela montre qu’avoir des flux de trésorerie constants permet d’augmenter la position de façon durable.
4. Sacrifier l’optimisation arithmétique pour l’effet géométrique
Buffett ne cherche pas à maximiser la moyenne arithmétique à court terme, mais opte pour une gestion de portefeuille qui optimise la croissance géométrique sur le long terme : il privilégie la patience, la réserve de liquidités, et l’achat à bon prix.
5. Renforcer Kelly avec la probabilité
La "marge de sécurité" de Buffett a une signification mathématique précise dans le cadre de Kelly : acheter en dessous de la valeur intrinsèque augmente la probabilité de succès, ce qui permet d’utiliser une plus grande part du capital.
Par exemple, lors de l’investissement dans American Express en 1964, Buffett a acheté à un prix très faible après le "scandale de l’huile de soja", permettant un rendement potentiel de 300 %, car la marge de sécurité (prix inférieur à la valeur intrinsèque) lui a permis de déployer davantage de capital dans une opération très sûre.
L’approche de Buffett consiste à transformer une estimation probabiliste en une analyse commerciale concrète : comprendre la stabilité relative de l’entreprise, analyser ses avantages concurrentiels durables, et prévoir ses flux de trésorerie futurs pour ajuster la "probabilité" dans la formule de Kelly.
Ce faisant, il convertit des estimations abstraites en décisions concrètes, améliorant la précision de ses investissements.
6. La concentration dans la gestion
Le portefeuille de Buffett est très concentré : il mise sur ses meilleures idées, en exploitant sa connaissance approfondie. La concentration repose sur la confiance dans ses analyses et sa compréhension.
Sa stratégie de concentration correspond à l’application optimale de Kelly en environnement à haute conviction.
7. La vision à long terme et la moyenne de régression
Buffett utilise la loi de la moyenne de régression pour ajuster ses estimations de probabilité. Son approche consiste à attendre que la valeur ou le prix reviennent vers la moyenne historique, ce qui augmente la probabilité de réussite.
Il adopte une stratégie "patiente", respectant le principe de Kelly, en n’intervenant qu’à des moments où la probabilité est très élevée.
Il opère avec une perspective de plusieurs décennies, gérant ainsi la volatilité et bénéficiant de la croissance à long terme des entreprises.
Ce faisant, il maximise la croissance géométrique à long terme, tout en minimisant le risque de retraits ou de pertes définitives.

En résumé, la "version renforcée de Kelly" de Buffett repose sur ces sept secrets : croissance par intérêts composés, haute probabilité, utilisation du float, sacrifice de l’optimisation arithmétique, renforcement probabiliste, concentration, et vision à long terme.

Comprendre ces principes permet à tout investisseur d’éviter les pièges "contre-Kelly" et de bâtir une stratégie robuste, ajustée à ses propres capacités et horizons.

Pour finir, la croissance de la richesse résulte essentiellement de l’intérêt composé. Mais la réalité est faite de fluctuations, d’incertitudes, de discontinuités. La formule de Kelly aide à comprendre comment optimiser cette croissance dans un monde incertain, mais elle ne peut pas tout prévoir. Elle offre surtout un cadre de réflexion pour mieux gérer le risque.

En conclusion, il faut retenir une règle essentielle : ne pas parier, ne pas augmenter inutilement le levier, et surtout ne jamais subir une perte de capital permanente.